x=secθ-tanθ=1/cosθ-sinθ/cosθ=(1-sinθ)/cosθ=
(1-2sin(½θ)cos(½θ))/(cos2(½θ)-sin2(½θ)).
1-x=1-(1-2sin(½θ)cos(½θ))/(cos2(½θ)-sin2(½θ));
1-x=(cos2(½θ)-sin2(½θ)-1+2sin(½θ)cos(½θ))/(cos2(½θ)-sin2(½θ));
1+x=1+(1-2sin(½θ)cos(½θ))/(cos2(½θ)-sin2(½θ));
1+x=(cos2(½θ)-sin2(½θ)+1-2sin(½θ)cos(½θ))/(cos2(½θ)-sin2(½θ));
(1-x)/(1+x)=
(cos2(½θ)-sin2(½θ)-1+2sin(½θ)cos(½θ))/(cos2(½θ)-sin2(½θ)+1-2sin(½θ)cos(½θ))=
(-2sin2(½θ)+2sin(½θ)cos(½θ))/(2cos2(½θ)-2sin(½θ)cos(½θ))=
sin(½θ)(-sin(½θ)+cos(½θ))/[cos(½θ)(cos(½θ)-sin(½θ))]=tan(½θ) QED.