cot^2 A.{(secA - 1)/(1 + sinA)} + sec^2A.{(sinA - 1)/(1 + secA)} = 0
Let X = {(secA - 1)/(1 + sinA)}
Let Y = {(sinA - 1)/(1 + secA)}
Then we have to prove,
cot^2A.X + sec^2A.Y = 0
or,
cot^2A.{X/Y} + sec^2A = 0
So,
X/Y = {(secA - 1)/(1 + sinA)} / {(sinA - 1)/(1 + secA)} =
{(secA - 1)/(1 + sinA)} * {(1 + secA)/(sinA - 1) } =
{(1 – cosA)/(cosA + sinA.cosA)} * {(cosA + 1)/(sinA.cosA – cosA)} =
{(1 – cosA)(cosA + 1)} / {(cosA + sinA.cosA)(sinA.cosA – cosA)} =
{(1 – cos^2A)} / {cosA(1 + sinA)cosA(sinA – 1)} =
(sin^2A) / {cos^2A(sin^2A – 1)} =
tan^2A / (-cos^2A)
Substituting for X/Y,
cot^2A.{ tan^2A / (-cos^2A)} + sec^2A = 0
1 / (-cos^2A) + sec^2A = 0
-sec^2A + sec^2A = 0
0 = 0