P(x) = x5 − 3x4 + 19x3 − 49x2 + 48x − 16; (−4i)

Question

Use the given zero to find the remaining zeros of each polynomial function

Answer 1

The given zero has a conjugate=4i, so we have (x-4i)(x+4i)=x²+16 as a factor of P.

Algebraic long division:

             x³-3x²  +3x      -1                 = (x-1)³

x²+16 ) x⁵-3x⁴+19x³-49x²+48x-16

             x⁵       +16x³

                 -3x⁴  +3x³-49x²    

                 -3x⁴          -48x²

                            3x³   -x²+48x

                            3x³        +48x

                                     -x²        -16

                                     -x²        -16

                                             0

P(x)=(x²+16)(x-1)³, so the zeroes are -4i, 4i, 1 (three times).