cosA/(1-tanA)=cos2A/(cosA-sinA) (multiply top and bottom by cosA);
sinA/(1-cotA)=sin2A/(sinA-cosA) (multiply top and bottom by sinA).
sinA-cosA=-(cosA-sinA) so we have:
cos2A/(cosA-sinA)-sin2A/(cosA-sinA)=
(cos2A-sin2A)/(cosA-sinA)=
(cosA-sinA)(cosA+sinA)/(cosA-sinA)=cosA+sinA QED.